Quay Lại   Diễn Đàn Trường THPT Châu Thành > Chuyên đề khoa học > Forum TOÁN HỌC. > Chuyên đề - Bài giảng > Bài giảng

Gửi trả lời
 
Công cụ Xếp bài
Bài cũ 02-28-2012, 11:51 AM   #1
Mục Đồng
Guest
 
Bài viết: n/a

Level: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Life: 0 / 0
Magic: 0 / 0
Experience: 0%

045 Phương pháp chứng minh một phương trình có nghiệm.

Mở đầu.
Trong quá trình học toán ta gặp rất nhiều bài toán với yêu cầu chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm. Đặc biệt nó được đề cập nhiều trong các đề thi Đại học và cao đẳng cũng như trong các đề thi HSG.
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, Bài hàm số liên tục có đưa ra định lý về điều kiện đủ để một phương trình có nghiệm. Nhưng việc vận dụng định lý đó để giải một bài toán có chứa tham số thì không dễ một chút nào cả. Với mong muốn chia sẻ những khó khăn mà các em học sinh đang gặp phải, và qua kinh nghiệm thực tiễn của bản thân tôi chia sẻ với các em một số giải pháp để chứng minh một phương trình có nghiệm.
I. Cơ sở luận:
1. Phương trình có nghiệm trên khi và chỉ khi với là tập giá trị của hàm số trên khoảng .
2. Cho phương trình bậc hai . Các mệnh đề sau tương đương.
a) có nghiệm.
b) .
c) .
d) .
( Bạn đọc tự chứng minh )
3. Điều kiện đủ để phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng liên tục trên .


II. Phương pháp và kỹ năng:

1. Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm.
Ví dụ 1:
Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm.

Giải:
Cách 1.

.
Do nên (2) là phương trình bậc 2.
Ta có:
.
vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cách 2:

Xét liên tục trên R.
.
nên tồn tại sao ch0 . Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Chú ý: Hầu như các hàm số ta xét đều liên tục, do đó từ nay về sau tính liên tục xem như được thỏa mãn.

Ví dụ 2:
Cho thỏa mãn . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.

Giải.
Cách 1:
* Nếu , phương trình luôn có nghiệm
* Nếu , pt (2) là phương trình bậc 2.

, nên phương trình có nghiệm.
Cách 2:
Ta có
, Vậy Phương trình luôn có nghiệm.

Vấn đề đặt ra là làm sao tìm được , liệu ngoài 2 giá trị còn có giá trị nào khác thỏa mãn tổng bằng 0 nữa không?
* Để tìm được hệ số của ta dùng phương pháp cân bằng hệ số:

Từ đó ta có hệ phương trình:

** Ngoài ta còn có nhiều cách chọn khác Ví dụ: .
Ta có: , cân bằng hệ số ta có hệ phương trình:
.
Vậy ta có : .
Do đó tồn tại sao cho . Vậy phương trình có nghiệm .

Bài toán tổng quát1.Cho phương trình , (với là một đa thức cho trước ). Với là các số thực thoa mãn . Chứng minh phương trình có nghiệm:

Phương pháp giải:
*Xác định các số thực sao cho.
**Cân bằng hệ số của để tìm .
( Chú ý: ).
2. Chứng minh một phương trình có nghiệm
Ví dụ 1:. Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệm trên (-2;2).

Giải: Ta có: .
Do đó: . Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm trên (-2;2).
Bài toán tổng quát: Chứng minh phương trình có ít nhất n nghiệm trên khoảng (a;b).
Phương pháp: Ta chọn trên khoảng [a;b] n+1 điểm ( có thể khác nhau và sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn sao cho .
Chú ý:. Việc chọn các giá trị có thể dùng máy tính bỏ túi như fx-570MS, fx-570 ES. Cách dùng: Vào bảng Table, nhập hàm số, nhập a (start ), b (end) và khoảng cách giứa hai giá trị liên tiếp (Step). Dựa vào bảng đó nếu cột giá trị hàm số đổi dấu thì phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng đó.
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Giải: Ta có , nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;2). Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài toán tổng quát: Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m. (m là tham số ).
Phương pháp:. Chọn các giá trị sao cho không phụ thuộc vào m, và . Hoặc chọn các giá trị sao cho không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 3: Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của m. ( Đề thi HKII năm 2011).
Giải: Ta có . , suy ra phương trình luôn có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;2) với mọi m.

3. Phương pháp sử dụng bảng biến thiên.

Ví dụ 1: Cho phương trình có ba nghiệm thực phân biệt. Chứng minh phương trình sau chỉ có hai nghiệm thực phân biệt:

Giải:
Ta có phương trình:

Ta có:
( Với là ba nghiệm của .
có ba nghiệm là .
Bảng biến thiên:


.
Vậy từ bảng biến thiên ta có phơng trình chỉ có hai nghiệm phân biệt (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt.
Giải: Điều kiện , vì .
Xét hàm số với .

với .
vô nghiệm nên có nhiều nhất một nghiệm, suy ra có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác nên có hai nghiệm (ĐPCM)
* Nhận xét. Để chứng minh một phương trình có nghiệm ta lập bảng biến thiên của hàm số .
Chú ý: nghiệm thì có không quá nghiệm.

III. Kết luận: Qua phần trình bày ở trên chắc hẳn cũng giúp cho các em có một cách nhìn,có phương pháp để chứng minh một phương trình, một bất phương trình, hay một hệ phương trình có nghiệm. Tuỳ thuộc vào yêu cầu của các bài tập cụ thể ta vận dụng dụng linh hoạt một trong ba cách trên chắc rằng sẽ cho chúng ta lời giải của bài toán.
Chúc các em học tập ngày cành tiến bộ và có những đóng góp thiết thực cho diễn đàn.

Chỉnh sửa lần cuối cùng bởi Mục Đồng: 03-07-2012 vào lúc 12:34 AM.
  Trả lời ngay kèm theo trích dẫn này
Bài cũ 03-01-2012, 05:13 PM   #2
Mục Đồng
Guest
 
Bài viết: n/a

Level: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Life: 0 / 0
Magic: 0 / 0
Experience: 0%

Mặc định

IV Bài tập luyện tập.

Bài 1. Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 2: Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 3: Cho . Chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 4: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với mọi m.
a)
b) .
Bài 5: Cho hai số thực dương khác nhau và . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm dương:
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

Chỉnh sửa lần cuối cùng bởi Mục Đồng: 03-05-2012 vào lúc 06:05 PM.
  Trả lời ngay kèm theo trích dẫn này
Bài cũ 03-13-2013, 02:07 AM   #3
Mathtc
Administrator
 
Avatar của Mathtc
 
Ngày tham gia: Feb 2012
Tên Thật: Vô Thường
Đến Từ: THPT Châu Thành
Giới Tính: Nam
Bài viết: 126

Level: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Life: 0 / 231
Magic: 42 / 1834
Experience: 26%

Thanks: 100
Thanked 47 Times in 29 Posts
Mặc định

Trích dẫn:
Nguyên văn bởi Mục Đồng Xem Bài Gởi
IV Bài tập luyện tập.

Bài 1. Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 2: Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 3: Cho . Chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 4: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với mọi m.
a)
b) .
Bài 5: Cho hai số thực dương khác nhau và . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm dương:
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

Mấy bài ni đăng lâu rồi mà nỏ chộ cháu mô giải hệnh, khó quá à?
__________________
Nợ đòi thì mặc nợ đòi.
Phương lưu giữ lấy cái nòi phong lưu.
Mathtc vẫn chưa có mặt trong diễn đàn   Trả lời ngay kèm theo trích dẫn này
Bài cũ 03-17-2013, 05:43 AM   #4
tstarn_pro
Đại ca Châu Thành
 
Avatar của tstarn_pro
 
Ngày tham gia: Feb 2012
Tuổi: 17
Tên Thật: G_G_
Đến Từ: Vietnam
Giới Tính: Nam
Bài viết: 121

Level: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Life: 0 / 225
Magic: 40 / 1787
Experience: 3%

Thanks: 64
Thanked 174 Times in 106 Posts
Gởi tin nhắn qua Yahoo tới tstarn_pro
Mặc định

Giải:
Bài 1:
Ta có:
Vậy tồn tại i,j thuộc sao cho .
Vậy pt có nghiệm.

Bài 2:
Ta có pt: có nghiệm .
Vậy
<=> . (đpcm)

Bài 3:
Ta có:
Vậy tồn tại i,j thuộc sao cho .
Vậy pt có nghiệm.

Bài 4:
a.
. Vậy pt có nghiệm với mọi m.
b. Đặt . pttt:
.
Ta có: .
Vậy pt có nghiệm t thuộc có nghiệm.
=> Đpcm.
tstarn_pro vẫn chưa có mặt trong diễn đàn   Trả lời ngay kèm theo trích dẫn này
The Following 4 Users Say Thank You to tstarn_pro For This Useful Post:
Dracula*114* (03-17-2013), Mathtc (03-17-2013), prisonbreak996 (09-22-2013), wizard@.ct (04-21-2013)
Bài cũ 03-17-2013, 10:21 AM   #5
Dracula*114*
Thành viên mới
 
Ngày tham gia: Mar 2013
Bài viết: 23

Level: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Life: 0 / 63
Magic: 7 / 296
Experience: 52%

Thanks: 21
Thanked 19 Times in 13 Posts
Mặc định

Trích dẫn:
Nguyên văn bởi tstarn_pro Xem Bài Gởi
Giải:


Bài 4:

b. Đặt . pttt:
.
Ta có: .
Vậy pt có nghiệm t thuộc có nghiệm.
=> Đpcm.
Có cần thiết phải vất vả như ri không ? Đừng lấy dao mổ tru thiến ga.
Dracula*114* vẫn chưa có mặt trong diễn đàn   Trả lời ngay kèm theo trích dẫn này
The Following 2 Users Say Thank You to Dracula*114* For This Useful Post:
Mathtc (03-20-2013), wizard@.ct (04-21-2013)
Gửi trả lời

Công cụ
Xếp bài

Quy định gửi bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Hình Diễn tả đang Mở
[IMG] đang Mở
Mã HTML đang Tắt
Chuyển đến


Bây giờ là 11:14 AM. Chúc bạn có những phút thư giãn thoải mái với diễn đàn này.


Mã nguồn vBulletin Phiên bản 3.7.3
Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.